【維尼的推理劇場】猜一猜 有多少張色紙呢?

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文/維尼老師
數學老師發給小傑一疊黃色色紙,再發給小哲一疊藍色色紙,這兩疊色紙大小相同,張數也一樣多。拿到色紙後,小傑先用自己的黃色色紙排成一個長方形,然後小哲用他的藍色色紙在長方形周圍圍了一圈。接著,換小傑用黃色色紙圍在長方形外圍,再由小哲用藍色色紙圍在長方形外圍,這樣一直進下去,直到小哲第5次用藍色色紙圍在長方形外圍後,兩個人的色紙剛好都用完了。大家動腦想想看,一開始老師最少各發幾張色紙給小傑和小哲呢?
解 答
這個題目沒給任何數字,連一開始小傑排的長方形是幾乘幾的都不知道,這要怎麼解啊?別著急,我們先弄清楚兩個關鍵:
(1)一個m×n(寬m張、長n張)的長方形,最外圍有幾張色紙?我們就用3×5的長方形來觀察一下好了:寬3張、長5張,長方形有2個寬2個長,所以最外圍應該有(3+5)×2這麼多張,但是角落4張(深黃色)都算了2次,所以要扣掉4張,因此真正的答案是(3+5)×2-4=12張。如果以m×n的長方形來看,最外圍就有(m+n)×2-4張(參見圖一)。
(2)在長方形周圍圍一圈,用去的張數和原來長方形的周長的關係是什麼?一樣用3×5的長方形來觀察一下好了(參見圖二)。由圖明顯可看出,因為長方形的寬是3、長是5,所以外圍藍色色紙的數量是3×2(左右各3張)+5×2(上下各5張)+4(4個角落共4張)=20,比長方形本身最外圍的張數多了8張。
所以答案已經呼之欲出了:小傑連一開始的長方形一共排了5次,小哲也排了5次。如果假設小傑第一次排的是m×n的長方形,用去m×n張色紙,最外圍共(m+n)×2-4=張,為了方便,設m+n=x,所以小傑排的長方形的外圍共2x-4張,也就是小哲第一次用去2x+4張。接著列個表更能清楚看出兩人每次用去的張數(參見圖三)。
顯而易見的,後四次小哲都比小傑多用了8張,四次就多用了32張,如果兩人色紙數量相同,那麼第一次小傑用去的m×n張必須比小哲用去的2x+4張多出32張。把x還原回m+n,可以得到:
m×n=(m+n)×2+4+32=(m+n)×2+36
接下來可以用一些代數技巧求出m和n,或是我們簡單代個數字進去看。因為左邊比右邊多了36,所以m×n不會太小,我們從m=6、n=10開始試試(參見圖四)。
結果,m=6、n=12和m=7、n=10都符合我們的希望,也就是小傑一開始排的是6×12或7×10的長方形,但是6×12>7×10,所以我們取m=7、n=10。因此兩人最少各拿到多少色紙呢?我們把(圖三)換成數字(x=m+n=17)(參見圖五)。所以說,正確答案就是350張。

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