【維尼的推理劇場】 至少幾人及格?

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文/維尼老師
在台灣,大家從小就得面對各種考試:在學校有小考、段考,升學更有大考,許多人還常參加外面的競賽考試;學校畢業工作,也得參加資格考,和別人競爭工作機會,實在非常辛苦。好啦!先不吐苦水,我們來看這次問題的狀況吧!
某次考試,一共100個人參加,總共只有 5 道題,答對 3 題或 3 題以上就合格。考完之後統計發現:答對1~5題的人數分別是81、91、85、79、74。大家推算一下,這次考試至少幾人合格?
解答:
在問題中如果問「至少」多少?就必須以最嚴格的角度去思考問題,直接一點說明,就是要考慮「最衰」的狀況。
比方簡單樂透:玩家從1~10中選5個號碼,但會開出6個獎號。假設小明選了1、3、5、7、9五個奇數,那麼最好的狀況就是這 5 個號碼全中獎;最衰的狀況就是獎號竟然是2、4、6、8、10再搭配一個奇數,結果小明只中 1 個號碼。雖然小明「衰」到極點,但開獎前我們保證能確定小明「至少」會中 1 個號碼。
明白了「至少」的意義,回到這個問題:我們只知道每題答對人數,不可能推算出實際合格人數,但要知道「至少」幾人合格是可以的,只要考慮「最衰」的狀況(讓合格人數盡量少)就可以了。
合格人數要最少的最衰狀況,就是大家剛好都只答對 2 題,全不合格。但是100個人都答對 2 題,也才答對了200題,而實際上共答對了81+91+85+79+74=410題,還多了210題。
那這210題要怎樣分配才能讓合格者最少呢?那就是讓合格的人都答對 5 題,沒有對 3 題或 4 題的。所以在每人都已答對 2 題的前提下,合格者都還要答對 3 題,210÷3=70,這就是最少的合格人數(另外 30 人都只答對 2 題),也就是說,保證至少有 70 人合格。

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