喚醒天生的數學力

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文/摘自《喚醒你與生俱來的數學力》臉譜出版
抽象化=推敲出本質
按照字典上的定義,「抽象」的意思是:
「分析事物或表象,進而掌握特定要素、面向或性質。」(《大辭泉》)歸根究柢,數學是一門培養「透視事物本質」、「推敲出眼睛看不見的規則或性質」等精神和邏輯思考力的學問。即使把推敲出本質的抽象化說成是數學最大的目標,也絕非言過其實。
歸納出共通的性質
舉例而言,假設這裡有一串數字「2、4、6、8、10、12……」,請問這些數字共通的性質是什麼呢?是的,由於這一連串的數字都是偶數,所以這些數字的性質就是「可以用二乘以整數來表示的數字」。當然,我們可以像這樣用語言來說明其本質,但如果用文字來表達同一件事情的話,就可以採用非常簡單明瞭的「2n(n為整數)」來呈現。
生活中隨處可見的抽象化
當然,抽象化並不是數學的專利,平常在我們的身邊也隨處可見。我在前面說明「整理」是數學思考術之一的時候,曾經提到整理的目的是為了增加資訊,事實上整理時進行分類的動作,就是一種抽象化的過程。例如我們可以把馬、鴿子、海豚和烏鴉這四種動物分類如下:
哺乳類:馬、海豚
鳥類:鴿子、烏鴉
不過馬和海豚長得完全不一樣,而且海豚看起來反而更像生活在海裡的魚類。鴿子和烏鴉的顏色也截然不同。但是撇開這些相異點,馬和海豚都「以哺乳方式養育幼體,且一輩子都用肺部呼吸」,鴿子和烏鴉「全身被羽毛覆蓋,且翅膀相當發達」,找出這些共通點後,分別將四種動物分成「哺乳類」和「鳥類」,這就是標準的抽象化。
再深入分析的話,其實把馬取名為「馬」這件事情本身,也是一種抽象化的行為。嚴格說來,每一匹馬都有其獨特的個性,只要不是複製馬,每一匹馬應該都不可能找到另外一匹一模一樣的馬才對。但我們卻無視於每一匹馬的個性,把所有具備共通特質、性質的馬,一律統稱為「馬」。這就是所謂的抽象化。說得極端一點,除了專有名詞以外,任何為事物命名的行為基本上都是抽象化。
只是我們千萬不能忘記,透過命名完成的抽象化行為,其實是一把雙面刃。就像數學家花了上百年研究如何把質數抽象化一樣,從個別的具體實例當中找出共通的性質,本來就是一件非常困難的事。然而在不少情況下,我認為任意分類並命名的行為,反而會讓我們無法看見事物的本質。所以還請各位多加注意,不要被這種似是而非的抽象化給蒙蔽了雙眼。

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